Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение - одна из трех базовых операций логической алгебры.

Соединение двух (или нескольких) высказываний союзом ИЛИ называется дизъюнкцией или логическим сложением . Логическое сложение схоже с союзом ИЛИ в естественном языке, если он употребляется в смысле «или то, или это, или оба сразу». Операцию логического сложения часто называют операцией ЛОГИЧЕСКОГО ИЛИ .

Высказывание А+В истинно (равно 1) тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний А или В, и ложно только тогда, когда ложны оба слагаемых (равны 0).

0 + 0 = 0 1 + 1 = 1

Следует обратить внимание на то, что при сложении двух логических единиц получается логическая единица. Алгебра логики оперирует только двумя значениями - ложью (логический 0) и истиной (логическая 1). Истина не может быть двойной или истиной в квадрате, поэтому при сложении двух истин мы получаем просто истину. Точно также при сложении двух логических сигналов высокого уровня мы получаем логический сигнал высокого уровня.

Дизъюнкция обозначается символом v или знаком сложения (+).

Правила логического сложения двух высказываний можно свести в следующую таблицу:

A	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Такая таблица называется таблицей истинности для дизъюнкции.

Нетрудно увидеть, что первые три строки таблицы соответствуют правилам сложения двоичных чисел в одном разряде без учета и образования переноса.

Дизъюнкция n переменных ложна тогда и только тогда, когда все составляющие ее переменные ложны.

В логических схемах BEAM-роботов логическое ИЛИ используется для согласования двух логических сигналов.

Другие базовые операции в алгебре логики

СВОЙСТВА ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

1. Обозначения

1.1. Обозначения для логических связок (операций):

a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);

b) конъюнкция (логическое умножение, логическое И) обозначается /\
(например, А /\ В) либо & (например, А & В);

c) дизъюнкция (логическое сложение, логическое ИЛИ) обозначается \/
(например, А \/ В);

d) следование (импликация) обозначается → (например, А → В);

e) тождество обозначается ≡ (например, A ≡ B). Выражение A ≡ B истинно тогда и только тогда, когда значения A и B совпадают (либо они оба истинны, либо они оба ложны);

f) символ 1 используется для обозначения истины (истинного высказывания); символ 0 – для обозначения лжи (ложного высказывания).

1.2. Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А /\ В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

1.3. Приоритеты логических операций: инверсия (отрицание), конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), импликация (следование), тождество. Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и

((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

2. Свойства

Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.

2.1. Общие свойства

1. Для набора из n логических переменных существует ровно 2 n различных значений. Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец и 2 n строк.

2.2.Дизъюнкция

1. Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется дизъюнкция, истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция истинна для этого набора значений.
2. Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже истинна.
3. Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
4. Значение дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

2.3. Конъюнкция

1. Если хоть одно из подвыражений, к которым применяется конъюнкция, ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция ложна для этого набора значений.
2. Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже истинна.
3. Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже ложна.
4. Значение конюнкции не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется.

2.4. Простые дизъюнкции и конъюнкции

Назовем (для удобства) конъюнкцию простой , если подвыражения, к которым применяется конъюнкция, – различные переменные или их отрицания. Аналогично, дизъюнкция называется простой , если подвыражения, к которым применяется дизъюнкция, – различные переменные или их отрицания.

1. Простая конъюнкция принимает значение 1 (истина) ровно на одном наборе значений переменных.
2. Простая дизъюнкция принимает значение 0 (ложь) ровно на одном наборе значений переменных.

2.5. Импликация

1. Импликация A →B равносильна дизъюнкции (¬ А) \/ В. Эту дизъюнкцию можно записать и так: ¬А \/ В.
2. Импликация A →B принимает значение 0 (ложь) только если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A →B истинна при любом значении B.

Конъюнктивная x + y {\displaystyle x+y} Полином Жегалкина x ⊕ y ⊕ x y {\displaystyle x\oplus y\oplus xy} Принадлежность предполным классам Сохраняет 0 Да Сохраняет 1 Да Монотонна Да Линейна Нет Самодвойственна Нет

Дизъюнкция может быть операцией как бинарной (имеющей два операнда), так и n {\displaystyle n} -арной (имеющей n {\displaystyle n} операндов) для произвольного n {\displaystyle n} .

Запись может быть префиксной - знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной - знак операции стоит между операндами или постфиксной - знак операции стоит после операндов. При числе операндов более двух префиксная и постфиксная записи экономичнее.

Обозначения

Наиболее часто встречаются следующие обозначения для операции дизъюнкции:

a ∨ b , a {\displaystyle a\lor b,\;a} || b , a {\displaystyle b,\;a} | b , a OR b {\displaystyle b,\;a~{\mbox{OR}}\,\,b} , max (a , b) . {\displaystyle ,\;\max(a,b).}

При этом обозначение наиболее широко распространено в современной математике и математической логике . Появилось оно не сразу: Джордж Буль , положивший начало систематическому применению символического метода к логике, не работал с дизъюнкцией (используя вместо неё строгую дизъюнкцию , которую обозначал знаком + ), а Уильям Джевонс предложил для дизъюнкции знак ·|· . Эрнст Шрёдер и П. С. Порецкий вновь использовали знак + , но уже применительно к обычной дизъюнкции . Символ ∨ {\displaystyle \lor } как обозначение дизъюнкции впервые встречается в статье «Математическая логика, основанная на теории типов» Бертрана Рассела (1908); он образован от лат. vel что означает ‘или’ .

Обозначение ⋁ для дизъюнкции было использовано и в раннем языке программирования Алгол 60 . Однако из-за отсутствия соответствующего символа в стандартных наборах символов (например, в ASCII или EBCDIC), применявшихся на большинстве компьютеров , в получивших наибольшее распространение языках программирования были предусмотрены иные обозначения для дизъюнкции. Так, в Фортране IV и PL/I применялись соответственно обозначения.OR. и | (с возможностью замены последнего на ключевое слово OR) ; в языках Паскаль и Ада используется зарезервированное слово or ; в языках и C++ применяются обозначения | для побитовой дизъюнкции и || для логической дизъюнкции ).

Наконец, при естественном упорядочении значений истинности двузначной логики (когда полагают, что 0 < 1 {\displaystyle 0<1} ), оказывается, что (a ∨ b) = max (a , b) . {\displaystyle (a\lor b)\,=\,\max(a,b).} Таким образом, дизъюнкция оказывается частным случаем операции вычисления максимума ; это открывает наиболее естественный способ определить операцию дизъюнкции в системах многозначной логики .

Булева алгебра

Логическая функция MAX в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция (логи́ческое «ИЛИ» , логи́ческое сложе́ние или просто «ИЛИ» ). При этом результат равен наибольшему операнду.

В булевой алгебре дизъюнкция - это функция двух, трёх или более переменных (они же - операнды операции, они же - аргументы функции). Таким образом, результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен 1 {\displaystyle 1} .

Таблица истинности
a {\displaystyle a}	b {\displaystyle b}	a ∨ b {\displaystyle a\lor b}
	1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1}		1 {\displaystyle 1}
1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}	1 {\displaystyle 1}

Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:

a {\displaystyle a}	b {\displaystyle b}	c {\displaystyle c}	a ∨ b ∨ c {\displaystyle a\lor b\lor c}
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Многозначная логика

Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция , в многозначных логиках называется максимум : m a x (a , b) {\displaystyle max(a,b)} , где a , b ∈ [ 0 , . . . , n − 1 ] {\displaystyle a,b\in } , а n {\displaystyle n} - значность логики. Возможны и другие варианты [чего? ] . Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов 0 , 1 {\displaystyle 0,1} .

Следует отметить, что название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция , логи́ческое «ИЛИ» , логическое сложе́ние и просто «ИЛИ» характерны для двоичной логики, а при переходе к многозначным логикам используются реже.

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом . Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• «1» тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
• «0» тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Теория множеств

Программирование

В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++/Perl/PHP логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое - символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or », а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) - выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) - поразрядная.

Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:

if (a || b ) { /* какие-то действия */ };

Результат будет равен f a l s e {\displaystyle false} , если оба операнда равны f a l s e {\displaystyle false} или . В любом другом случае результат будет равен t r u e {\displaystyle true} .

При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно t r u e {\displaystyle true} , то значение правого операнда не вычисляется (вместо b {\displaystyle b} может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смыс­ле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюн­кцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смот­реть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с про­смотром телепередач.)

В высказывании Данный глагол I или II спряжения союз «или» ис­
пользуется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией. . ,. ,-> „ ,... > (, г>

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Высказывание	Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона	Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу	Нестрогая
Оля любит писать сочинения или решать логические задачи	Нестрогая
Сережа учится в школе или окончил ее	Строгая
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано)	Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать	Нестрогая
Зелия движется по круговой или эллиптической орбите	Строгая
Числа можно складывать или перемножать	Нестрогая
Дети бывают или воспитанные, или не наши	?

Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; A OR В; А | В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)

Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

Глава 3. Логичздуие операции ____________ [___________________________ Щ

Таблица., ^»-«н..;ч; i ■.■;- >i ,;,

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство прини­мают за определение операции дизъюнкции.

Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложе­ние, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для опера­ции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.

В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как и в слове «или».

V Л-Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).

«Диз» - «галочка вниз» - V.

В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объедине­ния множеств.

Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера-Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых AvB=\. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В та­кие же, как в выбранных строках. ^ _ ч."" " * "о L su J I J

30 ___________________________ Часть 1. Элеиснтвьматематичсекой" логики

Графическая иллюстрация: ».*■.

А В A\jB - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.

j Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции (исключающее «или»). i Приведем пример строгой дизъюнкции.

,}■ Пусть даны высказывания:

"■ А = На автостоянке стоит «Мерседес».

>; В = На автостоянке стоят «Жигули».

i {А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мврседве»*или

«Жигули». v ?;;

Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули», и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автосто­янке одновременно.

; . - "4",

Обозначение строгой дизъюнкции: A XOR В; A v В.

глава 3. Логические операции ______________________________________ 31

Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истин­но, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимают за определение операции строгой дизъюнкции.

Диаграмма Эйлера - Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.

Графическая иллюстрация:

<ЗЭ

А - множество отличников в классе; В - множество спортсменов в классе;

А у В - множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.

d "W.C . J

Логическое следование (импликация) -wr™

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух!,

высказываний в одно с помощью оборота речи «если ..., то ... ». ■

Примеры импликаций: "

Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. {

Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. I

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес-.;:

смысленные с житейской точки зрения высказывания. i

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат-j; ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:

С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5. Х=Еслия - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Обозначение импликации: А -> В; А =э В. (В данном пособии: А =» В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операций f; Л._________________________ 33

Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания: .>--.< а «<, .<-. *>, w "„ihw

Л А = На улице дождь. >..;; j .„ , | Г,., д

В = Асфальт мокрый. ц

(А импликация 2?) = £Ъш на улице дождь, то асфальт мокрый.

Тогда если идет дождь {А = 1) и асфальт мокрый (5=1), то это соот­
ветствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на
улице идет дождь {А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчи­
таете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт
может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поли­
вальная машина). ъ. ?; t | rfl ]

Таблица

Форма высказывания: если А, то В,

Г SOW ! ,чи , Т " /1

"? , Л ■ и " . "Л \ и ч > < "Л

Лт С.Ч;":\0«1 "

Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность имплика­ции, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.

Разберем один из приведенных выше примеров следований, проти­воречащих здравому смыслу.

(А = 0)п(В = 0)

(А = 0)п (В = 1)

(Л = 1)п(Я=1)

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединени­ем двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда ...».

Часть 1. Элементы математической логики^

Глава 3. Логические операции

Примеры эквивалентностей: "

1) Угол называется прямым тогда и ттько тогда, когда он равен 90°.

2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пере­секаются. .,

3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или рав­номерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)

4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)

Все законы математики, физики, все определения суть эквивалент­ность высказываний.

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А о В.)

Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только mogda, когда
сумма его цифр делится нацело на 3. , ;

Пояснение:

А	В	А<^В

Таблица истинности:

	Значение
	высказывания
Смысл высказываний	Число кратно 3
А и В для указанных < значений "*"	тогда и только тогда, когда
*	сумма его цифр делится нацело на 3
Число не	Сумма цифр не	Истина
кратно трем	кратна трем
Число не	Сумма цифр	Ложь
кратно трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр не	Ложь
трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр	Истина
трем	кратна трем

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказы­ваний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.

В теории множеств этой операции соответствует операция эквива­лентности множеств.

Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаг­раммы Эйлера - Венна выберем те строки таблицы истинности, в кото­рых А <=> В = 1. Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения АнВ такие же, как в выбранных строках.

Графическая иллюстрация: c~J_........ 1л ...Li

Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Логическая операция - способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с по­мощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования обо­рота речи «неверно, что...».

Обозначение инверсии: НЕ А; -. A; A; NOT A. >"i, t

Таблица
истинности: ■■■ г -

А	А

Инверсия высказывания истинна, когда выс­
казывание ложно, и ложна, когда высказывание
истинно. ■--■

! t ■ .■ " Н ■

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначение конъюнкции: А Я В; А Л В; А & В; А ■ В; A AND В.

; (Г">* „*

Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.

Таблица истинности:

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания ис­тинны или оба ложны.

Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». ,

Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А \ В; Л V В; А + В.

Таблица истинности:

Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: А-> В;А=$ В.

Опорный конспект «Свойства логических операций»

Таблица истинности:

А	В	А^В

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Ч1я" | ; - VI

. ..,.. . , .-. . if . .................. --,-

■*}■

<Ч. 1

Похожая информация.

Алгебра логики и логические основы компьютера

Алгебра логики (булева алгебра) - это раздел математики, возникший в XIX веке благодаря усилиям английского математика Дж. Буля . Поначалу булева алгебра не имела никакого практического значения. Однако уже в XX веке ее положения нашли применение в описании функционирования и разработке различных электронных схем. Законы и аппарат алгебры логики стал использоваться при проектировании различных частей компьютеров (память, процессор). Хотя это не единственная сфера применения данной науки.

Что же собой представляет алгебра логики? Во-первых, она изучает методы установления истинности или ложности сложных логических высказываний с помощью алгебраических методов. Во-вторых, булева алгебра делает это таким образом, что сложное логическое высказывание описывается функцией, результатом вычисления которой может быть либо истина, либо ложь (1, либо 0). При этом аргументы функции (простые высказывания) также могут иметь только два значения: 0, либо 1.

Что такое простое логическое высказывание? Это фразы типа «два больше одного», «5.8 является целым числом». В первом случае мы имеем истину, а во втором ложь. Алгебра логики не касается сути этих высказываний. Если кто-то решит, что высказывание «Земля квадратная» истинно, то алгебра логики это примет как факт. Дело в том, что булева алгебра занимается вычислениями результата сложных логических высказываний на основе заранее известных значений простых высказываний.

Логические операции. Дизъюнкция, конъюнкция и отрицание

Так как же связываются между собой простые логические высказывания, образуя сложные? В естественном языке мы используем различные союзы и другие части речи. Например, «и», «или», «либо», «не», «если», «то», «тогда». Пример сложных высказываний: «у него есть знания и навыки», «она приедет во вторник, либо в среду», «я буду играть тогда, когда сделаю уроки», «5 не равно 6».

Как мы решаем, что нам сказали правду или нет? Как-то логически, даже где-то неосознанно, исходя из предыдущего жизненного опыта, мы понимает, что правда при союзе «и» наступает в случае правдивости обоих простых высказываний. Стоит одному стать ложью и все сложное высказывание будет лживо. А вот, при связке «либо» должно быть правдой только одно простое высказывание, и тогда все выражение станет истинным.

Булева алгебра переложила этот жизненный опыт на аппарат математики, формализовала его, ввела жесткие правила получения однозначного результата. Союзы стали называться здесь логическими операторами.

Алгебра логики предусматривает множество логических операций. Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем. Такими операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию - ||, а отрицание - чертой над переменной, обозначающей высказывание.

При конъюнкции@/a> истина с ложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.

При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.

Отрицание - это унарная операция, т.к выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному.

Для логических величин обычно используются три операции:

Конъюнкция - логическое умножение (И) - and, &, ∧.

Дизъюнкция - логическое сложение (ИЛИ) - or, |, v.

Логическое отрицание (НЕ) - not,.

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности, в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний. Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

Логические основы компьютера

В ЭВМ используются различные устройства, работу которых прекрасно описывает алгебра логики. К таким устройствам относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит и в используемой в ЭВМ системе счисления. Как известно она двоичная. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать как числа, так и значения логических переменных.

Переключательные схемы

В ЭВМ применяются электрические схемы, состоящие из множества переключателей. Переключатель может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае - ток проходит, во втором - нет. Описывать работу таких схем очень удобно с помощью алгебры логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

Вентили, триггеры и сумматоры

Вентиль представляет собой логический элемент, который принимает одни двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализации. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Триггеры и сумматоры - это относительно сложные устройства, состоящие из более простых элементов - вентилей.

Триггер способен хранить один двоичный разряд, за счет того, что может находиться в двух устойчивых состояниях. В основном триггеры используется в регистрах процессора.

Сумматоры широко используются в арифметико-логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют суммирование двоичных разрядов.

Информация и информационные процессы. Виды информации, её двоичное кодирование. Количество информации, подходы к определению понятия «количество информации», единицы измерения информации. Двоичное кодирование числовой, текстовой, графической, звуковой информации

Информация (от лат. informatio — «разъяснение, изложение, осведомлённость») — сведения о чём-либо, независимо от формы их представления.

В настоящее время не существует единого определения информации как научного термина. С точки зрения различных областей знания данное понятие описывается своим специфическим набором признаков. Понятие «информация» является базовым в курсе информатики, где невозможно дать его определение через другие, более «простые» понятия.

Свойства информации:

Объективность (информация объективна, если она не зависит от чьего-либо мнения, суждения);

Достоверность (информация достоверна, если она отражает истинное положение дел);

Полнота (информация полна, если ее достаточно для понимания и принятия решения);

Актуальность (информация актуальна, своевременна, если она важна, существенна для настоящего времени);

Полезность (оценивается по тем задачам, которые мы можем решить с ее помощью);

Понятность (информация понятна, если она выражена на языке, доступном для получателя);

Доступность (информация доступна, если мы можем её получить).

Информационный процесс - совокупность последовательных действий (операций), производимых над информацией (в виде данных, сведений, фактов, идей, гипотез , теорий и пр.), для получения какого-либо результата (достижения цели).

Информация проявляется именно в информационных процессах. Информационные процессы всегда протекают в каких-либо системах (социальных, социотехнических, биологических и пр.).

Наиболее обобщенными информационными процессами являются сбор, преобразование, использование информации.

К основным информационным процессам, изучаемым в курсе информатики, относятся: поиск, отбор, хранение, передача, кодирование, обработка, защита информации.

Информационные процессы, осуществляемые по определенным информационным технологиям, составляет основу информационной деятельности человека.

Компьютер является универсальным устройством для автоматизированного выполнения информационных процессов.

Люди имеют дело со многими видами информации. Общение людей друг с другом дома и в школе, на работе и на улице - это передача информации. Учительский рассказ или рассказ товарища, телевизионная передача, телеграмма, письмо, устное сообщение и т.д. - все это примеры передачи информации.

И мы уже говорили о том , что одну и ту же информацию можно передать и получить различными путями. Так, чтобы найти дорогу в музей в незнакомом городе, можно спросить прохожего, получить справку в справочном бюро, попытаться разобраться самому с помощью плана города или обратиться к путеводителю. Когда мы слушаем объяснение учителя, читаем книги или газеты, смотрим новости ТВ, посещаем музеи и выставки - в это время мы получаем информацию.

Человек хранит полученную информацию в голове. Мозг человека - огромное хранилище информации. Блокнот или записная книжка, ваш дневник, школьные тетрадки, библиотека, музей, кассета с записями любимых мелодий, видеокассеты - все это примеры хранения информации.

Информацию можно обрабатывать : перевод текста с английского языка на русский и наоборот, вычисление суммы по заданным слагаемым, решение задачи, раскрашивание картинок или контурных карт - все это примеры обработки информации. Все вы любили в свое время раскрашивать книжки-раскраски. Оказывается, в это время вы занимались важным процессом - обработкой информации, черно-белый рисунок превращали в цветной.

Информацию можно даже терять. Допустим, Иванов Дима забыл дневник дома и поэтому записал домашнее задание на листочке. Но, играя на перемене, он сделал из него самолетик и запустил его. Придя домой, Дима не смог сделать домашнюю работу, он потерял информацию. Теперь ему нужно или попытаться вспомнить, что же ему задали, или позвонить однокласснику, чтобы получить нужную информацию, или идти в школу с невыполненным домашним заданием.

Двоичное кодирование - один из распространенных способов представления информации. В вычислительных машинах, в роботах и станках с числовым программным управлением, как правило, вся информация, с которой имеет дело устройство, кодируется в виде слов двоичного алфавита.

Двоичный алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Цифровые ЭВМ (персональные компьютеры относятся к классу цифровых) используют двоичное кодирование любой информации. В основном это объясняется тем, что построить техническое устройство, безошибочно различающее 2 разных состояния сигнала, технически оказалось проще, чем то, которое бы безошибочно различало 5 или 10 различных состояний.

К недостаткам двоичного кодирования относят очень длинные записи двоичных кодов, что затрудняет работу с ними.